[2강] 엔지니어링을 위한 확률 및 통계 (Probability and Statistics)

현실의 엔지니어링 시스템은 제조 공차, 열잡음, 외부 간섭 등 무작위성(Randomness)과 불확실성에 노출된다. 확률과 통계는 이러한 불확실성을 정량화하고 통제 가능한 형태로 변환하는 과학이다.

중심경향치와 분산 (Central Tendencies and Dispersions)

데이터의 중심을 나타내는 척도로는 평균(Mean), 중앙값(Median), 최빈값(Mode)이 있다. 모집단의 산술 평균은 $\mu = \frac{1}{N} \sum X_i$로 정의되며, 기대값(Expected Value, $E[X]$)과 동일한 의미를 갖는다. 반면 분산(Variance, $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (X_i - \mu)^2$)과 표준편차($\sigma$)는 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 측정한다. 엔지니어링에서 분산이 크다는 것은 공정의 정밀도가 낮음을 의미하며, 이는 신뢰성 저하로 직결된다.

확률 분포 (Probability Distributions)

특정 사건이 발생할 확률을 수학적으로 모델링한 것이 확률 분포이다.

• 이항 분포 (Binomial Distribution): 성공 확률이 $p$인 독립적인 시행을 $n$번 반복했을 때 $k$번 성공할 확률을 나타내는 이산형 분포이다. 공식은 $P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 이다. 품질 관리에서 불량품 발생 확률을 계산할 때 사용된다.
• 정규 분포 (Normal Distribution): 중심극한정리(CLT)에 의해 자연계의 수많은 연속형 변수(예: 저항기의 오차, 열잡음 전압)는 정규 분포를 따른다. 확률 밀도 함수는 종 모양을 띠며, 평균을 중심으로 $\pm 1\sigma$ 내에 약 68%, $\pm 2\sigma$ 내에 95%, $\pm 3\sigma$ 내에 99%의 데이터가 존재한다.

가설 검정 (Hypothesis Testing)

설계 변경이 시스템 성능에 유의미한 영향을 미쳤는지를 통계적으로 검증하는 과정이다. 귀무가설($H_0$, 변화 없음)과 대립가설($H_a$, 변화 있음)을 설정한 후, 검정 통계량(Test Statistic)을 계산하여 유의 수준($\alpha$)과 비교함으로써 데이터 기반의 객관적인 의사결정을 내린다.